Modelo de Bachelier (Normal)
Bachelier (1900) foi o primeiro modelo de precificação de opções, anterior ao Black-Scholes em 73 anos. As variações de preço são aditivas e normalmente distribuídas. Em vez de modelar retornos percentuais (lognormal), Bachelier modela variações em dólares (normal). O preço pode ficar negativo, o que é um defeito para ações e uma vantagem para taxas de juros.
O modelo tem exatamente um parâmetro: a vol normal, medida em termos absolutos (por exemplo, "$50/ano" em vez de "30%/ano"). Não há smile. Se o mundo fosse Bachelier, todas as opções em todos os strikes teriam a mesma vol normal. Esse smile plano é a previsão central do modelo.
O skew pode ser um artefato do modelo
O Bachelier produz um smile plano por construção. Converta esses preços para volatilidade implícita de Black-Scholes e você obtém um skew. Esse skew não está no mercado. Ele é consequência de forçar a matemática lognormal sobre um mundo que pode ser normal.
Explore o modelo
A linha azul tracejada e plana é a visão de Bachelier: uma única vol para todos os strikes. A curva verde mostra os mesmos preços de opções reexpressos em termos de Black-Scholes. Reduza o preço spot e veja o skew aparente do BS ficar mais íngreme, mesmo que nada tenha mudado no mundo de Bachelier.
Explorador Bachelier vs Black-Scholes
A linha azul tracejada plana é a visão de Bachelier: uma única vol para todos os strikes. A curva verde são os mesmos preços de opções reexpressos em termos de Black-Scholes. O "skew" é um artefato do modelo, não uma característica do mercado.
O que cada parâmetro faz
- Vol normal: o único parâmetro. Medida em unidades absolutas de preço por ano (não em percentual). Uma vol normal de 20 significa que se espera que o preço se mova $20 ao longo de um ano (um desvio-padrão). Todos os strikes recebem essa mesma vol, e o smile é plano.
- Preço spot: não altera o smile de Bachelier (continua plano). Mas afeta drasticamente o smile equivalente em BS. Com preços spot mais baixos, o mesmo movimento em dólares se traduz em um movimento percentual maior, então a volatilidade implícita do BS sobe, criando um skew de put aparente.
Por que o "skew" do BS aparece
O beta do SABR define o backbone
O backbone do SABR (o smile com a vol da vol desligada) depende do beta. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. O beta escolhe onde você fica no espectro entre normal e lognormal.
Onde o Bachelier é usado
Não serve para opções sobre cripto spot
Os preços spot de cripto são positivos e apresentam efeitos de alavancagem (a vol sobe quando o preço cai). O arcabouço lognormal (família Black-Scholes) é mais natural aqui. O Bachelier é a ferramenta certa para juros, spreads e qualquer coisa que possa ficar negativa.
Bachelier vs. Black-Scholes em resumo
A fórmula de conversão
Perto do ATM, você pode converter entre os dois:
Uma ação a 30 de vol normal. Mas essa aproximação deixa de valer longe do ATM, e é exatamente por isso que o "smile" do BS aparece quando você converte preços de Bachelier.
Smile plano por definição
O Bachelier trata as variações de preço como aditivas. Seu smile é plano por definição. O skew que aparece após a conversão para termos de BS é um artefato da escolha do modelo, não uma característica do mercado.
Explorador de equações
Explorador de equações
💡 Dica: Tente responder cada pergunta você mesmo antes de revelar a resposta.
Construindo intuição matemática
Aprenda Bachelier do zeroLição interativa · sem pré-requisitosEsta lição começa com o modelo mental em linguagem simples e depois percorre a volatilidade normal, a fórmula de precificação e por que um smile normal plano pode aparecer como skew depois que você o traduz para termos de Black-Scholes.
Veja também:
- Black-Scholes: a contraparte lognormal
- Modelo CEV: faz a ponte entre normal e lognormal pelo parâmetro beta
- Modelo SABR: usa o beta para escolher a posição no espectro normal-lognormal
- Displaced Diffusion: outra forma de lidar com ativos subjacentes próximos de zero
- Volatilidade implícita: o conceito que depende do modelo que você escolhe
- Skew: separando artefatos do modelo de características do mercado