Modelos de Saltos e Caudas Gordas

O mercado abre gaps. Um exploit de protocolo, uma decisão surpresa do Fed, uma cascata de liquidações. Modelos de volatilidade estocástica têm dificuldade com saltos repentinos. Modelos de saltos lidam com eles diretamente: o preço se teletransporta para um novo nível em momentos aleatórios.

💡

Duas formas de obter caudas gordas

A volatilidade estocástica (Heston, SABR) torna a volatilidade aleatória. Modelos de saltos fazem o próprio preço saltar. Os dois efeitos estão presentes nos mercados reais, e sistemas de produção costumam combiná-los.

Visão Geral

Modelo

Ideia central

Melhor para

Merton Jump-Diffusion

Black-Scholes + saltos aleatórios. O modelo de saltos original.

Entender o risco de crash e a inclinação do smile de prazos curtos

Kou

Saltos assimétricos. Quedas maiores que altas.

Ajuste independente das asas

Variance Gamma

Saltos puros, sem difusão. Retornos guiados por um relógio aleatório.

Caudas gordas sem volatilidade estocástica. Benchmark acadêmico.

O que eles têm em comum

Os três modelos explicam caudas gordas e smiles íngremes de prazos curtos ao permitir que o preço salte. Eles diferem na distribuição dos saltos e na presença ou não de um componente de difusão contínua.

Modelo

Distribuição dos saltos

Tem difusão?

Forma fechada?

Comportamento das asas

Merton

Lognormal (simétrica)

Sim

Sim (série)

Engorda simétrica

Kou

Exponencial dupla (assimétrica)

Sim

Sim

Caudas esquerda/direita independentes

Variance Gamma

Movimento browniano subordinado a gama

Não

Sim

Controlado pelos parâmetros de skew e curtose

Como eles se relacionam

Merton é o original: pegue o Black-Scholes e adicione saltos aleatórios extraídos de uma distribuição lognormal. Os saltos são simétricos, então o modelo engorda as duas caudas por igual. Kou corrige isso trocando o salto lognormal por uma exponencial dupla, com parâmetros separados para saltos de alta e de baixa, de modo que as quedas podem ser maiores que as altas. Variance Gamma segue outro caminho: remove a difusão por completo e modela os retornos como um movimento browniano rodando em um relógio aleatório (um processo gama). Todo o movimento vem dos saltos. Isso o torna um processo de saltos puros, em que os parâmetros de curtose e skew controlam diretamente o formato das caudas.

---

Modelos nesta seção:

• Merton Jump-Diffusion - O modelo de saltos original
• Kou Jump-Diffusion - Saltos assimétricos de exponencial dupla
• Variance Gamma - Processo de saltos puros com um relógio aleatório