Volatilidade local

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Esta página aborda o modelo de volatilidade local de Dupire. Para entender como ele se encaixa no pipeline da superfície de volatilidade, veja Como as superfícies são construídas. Para uma comparação com outros métodos, veja Métodos de interpolação.

Volatilidade local é a volatilidade instantânea do ativo subjacente em um nível de preço e em um instante específicos. É a função $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ que, quando inserida em um modelo de difusão, reproduz exatamente todos os preços observados de opções europeias.

A ideia foi desenvolvida de forma independente por Bruno Dupire (1994) e por Derman & Kani (1994). É o único modelo que se ajusta à superfície completa de volatilidade implícita sem nenhuma hipótese adicional.

Vol implícita vs. vol local

A ideia central: a vol implícita é uma média ponderada das vols locais ao longo do caminho até o vencimento. A vol local é a volatilidade instantânea, "ponto a ponto".

Volatilidade implícita vs. volatilidade local

Smile típico de ações/cripto. A vol local é maior e mais pontiaguda que a implícita.

A vol local (linha sólida) é sempre mais pontiaguda que a vol implícita (tracejada). A vol implícita é uma média ponderada das vols locais ao longo da trajetória.

Alterne entre os formatos de smile e observe:

• A vol local é sempre mais pontiaguda. Como a vol implícita faz uma média ao longo do caminho, ela suaviza os extremos. A vol local mostra o quadro bruto, sem média.
• Skew implícito mais íngreme = vol local mais extrema. No caso de skew íngreme (crise), a vol local diverge na asa esquerda. É o modelo dizendo: "Se o spot cair tanto, a vol instantânea precisaria ser muito alta para reproduzir os preços observados das puts."
• A relação é como a de taxas spot vs. taxas forward. A vol implícita é a taxa spot (média de agora até o vencimento). A vol local é a taxa forward (a taxa instantânea em um ponto futuro).

O que a vol local significa

Pense no preço do ativo subjacente evoluindo por uma paisagem de volatilidades. Em cada ponto do espaço (preço, tempo) existe uma volatilidade específica. À medida que o ativo subjacente se move, ele passa por diferentes vols instantâneas.

Uma opção ATM de 30 dias com 50% de vol implícita pode atravessar vols locais entre 40% e 65% ao longo do caminho. Os 50% de vol implícita são a média neutra ao risco de todas essas vols locais, ponderada pelo tempo passado em cada nível.

É por isso que duas opções com strikes diferentes podem ter vols implícitas diferentes, mesmo dependendo do mesmo processo do ativo subjacente: elas atravessam regiões diferentes da paisagem de vol local.

Quando usar a vol local

Precificação de opções exóticas

Este é o principal caso de uso da vol local. O fluxo de trabalho:

1. Observe os preços de opções europeias (ou as vols implícitas) no mercado
2. Ajuste uma superfície de volatilidade implícita livre de arbitragem (usando SVI, SSVI ou similar)
3. Derive a superfície de vol local pela fórmula de Dupire
4. Construa um motor numérico de precificação (PDE por diferenças finitas ou Monte Carlo) usando a superfície de vol local
5. Precifique a exótica evoluindo o ativo subjacente pela paisagem de vol local

A garantia: qualquer exótica precificada sob vol local é consistente com todos os preços observados de opções europeias. O preço da sua opção de barreira não contradiz as vanillas, o que é importante para o hedge.

Gregas consistentes com a superfície

As gregas calculadas sob vol local levam em conta que a vol muda quando o spot se move. O delta sob vol local difere do delta de Black-Scholes porque o modelo "sabe" que mudar para outro nível de spot significa passar por uma vol local diferente. Conceitualmente, isso é parecido com o que Taleb chama de "shadow gamma": a variação extra de delta que vem da mudança da vol causada pelo movimento do spot.

O problema da dinâmica

A vol local tem uma fraqueza conhecida: ela prevê a dinâmica do smile de forma errada.

Sob vol local, a volatilidade é uma função determinística do spot. Sabendo onde está o spot, você sabe exatamente qual é a vol. Não existe "surpresa" na vol. Isso significa:

• Quando o spot cai, a vol local diz que a vol sempre seria alta nesse preço. O smile se achata.
• Na prática, quando o spot cai, a vol frequentemente sobe mais do que a vol local prevê, e o smile fica mais íngreme.

O resultado: a vol local subprecifica sistematicamente opções que dependem do formato futuro do smile (opções de barreira, opções forward-start, cliquets).

Vol local vs. outros modelos

	Vol local	SVI	SABR
O que é	Vol instantânea em cada (S, t)	Formato paramétrico do smile	Modelo de vol estocástica
Observável?	Não (derivada)	Não (ajustada)	Não (ajustada)
Calibração exata	Sim (por construção)	Aproximada	Aproximada
Dinâmica do smile	Errada (determinística)	Não especificada	Melhor (estocástica)
Precificação de exóticas	Sim (uso principal)	Não	Limitada
Velocidade	Lenta (PDE/MC)	Rápida	Rápida (fórmula)
Ideal para	Barreiras, asiáticas, exóticas	Precificação de vanillas, risco	Swaptions, vanillas de FX

Conexão com outros modelos

Da vol implícita para a vol local: fórmula de Dupire. Exige como entrada uma superfície implícita livre de arbitragem.

Da vol local para a vol implícita: rode uma PDE forward sob a superfície de vol local, precifique as europeias e inverta para obter as vols implícitas. A ida e volta é exata por construção.

SABR e vol local: o parâmetro $\beta$ do SABR controla a espinha dorsal da vol local (vol absoluta $\sim F^\beta$, logo vol percentual $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), enquanto $\nu$ adiciona uma camada estocástica por cima. O SABR pode ser visto como uma aproximação paramétrica da vol local com dinâmica adicional.

SVI e vol local: o SVI fornece a superfície implícita. Dupire então fornece a vol local. A cadeia: cotações de mercado -> ajuste SVI -> superfície implícita -> Dupire -> vol local -> precificador de exóticas.

Construindo intuição matemática

Aprenda volatilidade local do zeroLição interativa · aborda a fórmula de Dupire

A lição interativa acima aborda o modelo de volatilidade local de Dupire a partir dos primeiros princípios: por que a vol implícita é uma média das vols locais ponderada pelo caminho, como a fórmula de Dupire extrai a vol local dos preços observados, a relação entre o smile de vol implícita e a superfície de vol local, e por que a vol local importa para precificar exóticas dependentes de caminho.

Implementações open source

Repositório	Por que vale a pena olhar
QuantLib	Vol local de Dupire com motor de precificação por diferenças finitas
OpenGamma Strata	Construção da superfície de vol local a partir de dados de mercado
RustQuant	Precificação com vol local em Rust

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Veja também:

• Parametrização SVI - O modelo usado para construir a superfície implícita
• Modelo SABR - Uma alternativa de vol estocástica
• Métodos de interpolação - Todos os métodos comparados
• Como as superfícies são construídas - O pipeline completo