Volatilidade Dependente da Trajetória (PDV)

Todos os modelos deste site assumem que a vol depende de onde o preço está agora -- o nível atual, talvez o estado atual da vol. A Volatilidade Dependente da Trajetória (Guyon & Lekeufack, 2023) diz que isso não basta. A vol também depende de por onde o preço passou. Uma moeda que caiu 10% e se recuperou até $100 não é negociada da mesma forma que uma que ficou parada em$100 o tempo todo. A moeda que caiu e se recuperou tem volatilidade implícita elevada, skew mais acentuado e asas mais largas -- porque o mercado se lembra da queda.

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Mercados têm memória

Se o BTC acabou de ter um drawdown de 15%, a vol continua elevada mesmo depois que o preço se recupera. O PDV torna a vol uma função de duas coisas: vol realizada recente e tendência recente de preço. Esse é o modelo inteiro. A superfície de volatilidade se desloca em resposta à trajetória, não apenas ao preço atual.

Veja na Prática

Alterne entre uma trajetória de queda e recuperação e uma trajetória estável. As duas terminam no mesmo preço, mas produzem smiles de vol diferentes. Arraste o controle de memória para ver como a janela de lookback altera o efeito.

Volatilidade dependente da trajetória

O preço caiu 10% e se recuperou. A memória da trajetória mantém a volatilidade elevada mesmo depois que o preço se recupera.

Trajetória recente do preço

Smile de volatilidade resultante

Memória da trajetória (janela de retrospecção)30 dias

1 dia (memória curta)90 dias (memória longa)

Alterne entre os cenários para ver como o mesmo preço atual produz smiles diferentes conforme a trajetória recente. Arraste o controle de memória para ver como a janela de retrospecção altera o efeito.

Como Funciona

1. Duas entradas a partir da trajetória de preço

O PDV condensa o histórico recente de preços em dois números:

Entrada

O que captura

Intuição do trader

Vol realizada recente

Quanto o preço vem se movendo ao longo da janela de lookback.

Você já confere isso em qualquer painel de vol. RV recente alta = IV elevada.

Tendência recente

Variação líquida do preço ao longo da janela de lookback (para cima ou para baixo).

Uma queda forte acentua o skew. Uma alta o achata. Você vê isso todo dia.

2. A vol é uma função dessas duas entradas

O modelo diz: a volatilidade implícita em qualquer strike é uma função do spot atual mais esses dois resumos da trajetória. Sem variável de estado de vol estocástica, sem cálculo fracionário, sem cadeia de Markov oculta. Apenas: "onde está o preço, quanto ele vem se movendo e em qual direção?"

3. Comportamento de rough vol sem modelos rough

Essa estrutura reproduz vários fenômenos "difíceis":

• Clustering de vol -- vol alta gera vol alta, porque a vol realizada recente continua elevada
• Efeito alavancagem -- quedas aumentam a vol mais do que altas, porque a entrada de tendência distorce a função. Produz skew que varia com os retornos recentes.
• Escalonamento semelhante ao de rough vol -- a aparente rugosidade das trajetórias de vol surge naturalmente da dependência da trajetória, sem precisar de movimento browniano fracionário
• Calibração conjunta SPX/VIX -- o modelo calibra simultaneamente para opções de índice e opções de VIX, algo que a maioria dos modelos não consegue

ℹ️

Por que isso importa para cripto

Os mercados cripto têm dependência de trajetória extrema. Depois de uma cascata de liquidações, a vol continua elevada por dias, mesmo que o preço se recupere. Depois de uma longa subida gradual, a vol se comprime. O PDV captura isso diretamente. Modelos tradicionais tratam todo BTC a 60k da mesma forma -- o PDV trata "60k depois de uma queda a partir de 70k" de forma diferente de "60k depois de uma alta a partir de 50k". Essa distinção importa para a precificação e para o hedge de delta.

PDV vs. Outros Modelos

Característica

Heston / SABR

Rough Bergomi

PDV

A vol depende de

Apenas do estado atual

Histórico completo da vol (fracionário)

RV recente + tendência

Memória da trajetória

Nenhuma (Markov)

Infinita (lei de potência)

Finita (janela de lookback)

Complexidade

Baixa

Alta (não Markov)

Baixa

Ajuste conjunto SPX/VIX

Fraco

Moderado

Bom

Clustering de vol

Parcial

Sim

Sim

Velocidade de simulação

Rápida

Lenta

Rápida (Markov)

Maturidade

Décadas

~10 anos

Novo (2023)

Pontos Fortes e Limitações

Ponto forte

O que significa para você

Entradas intuitivas

Vol realizada recente e tendência são coisas que todo trader acompanha. Sem variáveis de estado abstratas.

Markov (rápido de simular)

Apesar de capturar efeitos de trajetória, o modelo é Markov em (S, vol realizada, tendência). O Monte Carlo roda em velocidade padrão.

Rough vol sem matemática rough

Reproduz as propriedades de escalonamento dos modelos de rough vol sem cálculo fracionário nem simulação não Markov.

Calibração conjunta

Calibra simultaneamente para opções vanilla e produtos de vol-of-vol (opções de VIX, vol swaps).

Limitação

O que significa para você

Escolha da janela de lookback

O parâmetro de memória importa e precisa ser escolhido ou ajustado. Janelas diferentes produzem superfícies diferentes.

Sem precificação em forma fechada

Os preços das opções exigem simulação de Monte Carlo. Mais lento que as aproximações em forma fechada de Heston ou SABR.

Novo (2023)

Pouca experiência em produção. Casos extremos e modos de falha ainda não estão totalmente documentados.

Precisa de histórico de preços

Não consegue precificar opções de um token recém-lançado sem histórico de negociação. Precisa de dados suficientes para calcular a vol realizada e a tendência.

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O modelo de vol dependente da trajetória mais simples

O PDV usa a vol realizada recente e a tendência recente para explicar dinâmicas do smile que os modelos de vol estocástica não capturam. Reproduz rough vol, clustering de vol e efeito alavancagem sem matemática exótica. O vega sob o PDV difere do Black-Scholes porque o estado da trajetória altera o formato do smile. O custo: é novo, exige Monte Carlo e depende da escolha da janela de lookback.

Explorador de Equações

Converta entre volatilidade implícita, variância total, log-moneyness e preços de opções.

Explorador de equações

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Vol implícita (σ)

%

A volatilidade implícita

Tempo até o vencimento

dias

Dias corridos até o vencimento

Variância total (w)

0.022225

Variância anualizada (σ²)

0.2704

IV recalculada (ida e volta)

52.00%

A variância total é o que o SVI e outros modelos ajustam. Ela escala com o tempo, então uma vol de 50% por 30 dias tem menos variância total do que uma vol de 50% por 90 dias.

Teste sua compreensão antes de prosseguir.

Q: O BTC está em $65k. Ele chegou aqui depois de cair de $72k e se recuperar. Sob o PDV, como a superfície de volatilidade difere de um cenário em que o BTC subiu devagar a partir de $60k?

Q: Por que o PDV reproduz um comportamento semelhante ao de rough vol sem usar movimento browniano fracionário?

Q: Você está escolhendo uma janela de lookback para o PDV em opções de ETH. Quais são os trade-offs entre 7 dias e 60 dias?

💡 Dica: Tente responder cada pergunta você mesmo antes de revelar a resposta.

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Veja também:

• Modelo SABR -- Vol estocástica clássica, sem dependência da trajetória
• Rough Bergomi -- Modelo de vol fracionária que o PDV consegue aproximar
• Modelo de Heston -- Vol estocástica com reversão à média (Markov, sem memória da trajetória)
• Neural SDE / Deep Hedging -- Outra abordagem orientada a dados para modelagem de vol
• Regimes de Vol -- Entendendo os regimes que o PDV captura naturalmente