Modelo SABR

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Esta página cobre o modelo SABR em profundidade. Para entender como ele se encaixa no pipeline da superfície de volatilidade, veja Como as Superfícies São Construídas. Para uma comparação com outros métodos, veja Métodos de Interpolação.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) é um modelo de volatilidade estocástica introduzido por Hagan, Kumar, Lesniewski e Woodward (2002). Diferente do SVI, que descreve a forma do smile, o SABR descreve a dinâmica que o produz. O smile surge do modelo como consequência de como a volatilidade evolui junto com o ativo subjacente.

O SABR é o modelo dominante para swaptions de taxa de juros e caps/floors. É menos comum em cripto, onde o SVI é preferido pelo ajuste mais simples e pelo melhor comportamento nas asas.

Explore os Parâmetros

Ajuste cada parâmetro para ver como o smile do SABR muda. Ative "Show backbone" para ver a curva apenas CEV (como o smile fica sem vol-of-vol).

Explorador de Smile SABR

Smile típico de swaptions de taxas de juros. Skew moderado, curvatura leve.

α (nível de vol)0.30

Vol instantânea atual

β (backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = raiz quadrada, 1 = lognormal

ρ (corr spot-vol)-0.30

Negativa = skew de puts (usual)

ν (vol da vol)0.40

Controla a largura do smile. 0 = sem smile.

Ative "Mostrar backbone" para ver a curva apenas CEV (sem vol da vol). A diferença entre o backbone e o smile completo é a contribuição de ν.

O que cada parâmetro faz

• $\alpha$ (nível de vol): A volatilidade instantânea atual. $\alpha$ mais alto = IV geral mais alta. É o parâmetro recalibrado com mais frequência.
• $\beta$ (backbone): Controla como a volatilidade escala com o preço do ativo subjacente. $\beta = 1$ significa vol percentual constante (lognormal). $\beta = 0$ significa vol em dólares constante (normal). $\beta = 0.5$ fica no meio (raiz quadrada). Na prática, $\beta$ costuma ser fixado por convenção de mercado, não ajustado.
• $\rho$ (correlação spot-vol): Controla o skew. $\rho$ negativo significa que a vol sobe quando o ativo subjacente cai (o comportamento usual em ações e cripto). $\rho$ positivo significa o oposto (raro).
• $\nu$ (vol of vol): Controla a largura do smile. Quando $\nu = 0$, não há smile, apenas o skew que $\beta$ e $\rho$ produzem (o "backbone"). À medida que $\nu$ aumenta, as duas asas sobem.

O backbone

Clique em "Show backbone" no explorador acima. A linha tracejada é o smile com $\nu = 0$: sem aleatoriedade na vol, apenas o modelo CEV determinístico. A distância entre o backbone e o smile completo é a contribuição de $\nu$ (vol-of-vol). Essa decomposição é exclusiva do SABR e dá aos traders uma intuição clara sobre de onde vem a curvatura do smile.

Calibração

A abordagem padrão

1. Fixe $\beta$ em uma convenção de mercado:

   • Taxas de juros: $\beta = 0.5$ (comum) ou $\beta = 0$ (SABR normal)
   • Ações: $\beta = 1$ (lognormal)
   • Com $\beta$ fixo, o modelo tem 3 parâmetros livres.

2. Ancore $\alpha$ na vol ATM. Existe uma relação quase em forma fechada entre $\alpha$ e a volatilidade implícita ATM. Dada a IV ATM observada, resolva para $\alpha$. Isso reduz o ajuste a 2 parâmetros livres.

3. Ajuste $\rho$ e $\nu$ minimizando o erro ponderado entre o smile do SABR e as IVs observadas ao longo dos strikes. Com apenas 2 parâmetros, isso é rápido e robusto.

Ponderação

• O ATM recebe o maior peso (mais líquido, mais confiável)
• Opções com spreads bid-ask apertados recebem mais peso
• Opções muito fora do dinheiro (OTM) recebem menos peso (a aproximação de Hagan é menos precisa ali)

Pontos Fortes

Interpretação dinâmica. O SABR diz como o smile deve se mover quando o ativo subjacente se move. Por padrão, o SABR produz um comportamento parecido com sticky-delta: quando o spot cai, a vol sobe (se $\rho < 0$), e o smile se desloca com o spot. Isso é valioso para produtos em que a dinâmica do smile importa para o hedge.

Decomposição do backbone. A separação entre o backbone (skew guiado por $\beta$) e o smile (curvatura guiada por $\nu$) dá aos traders um modelo mental claro.

Parcimonioso. Com $\beta$ fixo e $\alpha$ ancorado no ATM, você ajusta apenas 2 parâmetros. Isso é rápido e deixa pouco espaço para overfitting.

Limitações

Problemas nas asas. A aproximação de Hagan pode produzir volatilidade implícita negativa ou densidade de probabilidade negativa nas asas extremas. É um problema conhecido. Sistemas de produção usam formulações corrigidas (SABR livre de arbitragem, ou um solver de EDP para strikes extremos).

Vencimentos longos. A expansão assintótica se degrada para vencimentos acima de 10-15 anos. Use um método numérico nesses casos.

Ajuste estático, não calibração dinâmica. Apesar da interpretação dinâmica do SABR, na prática cada vencimento é ajustado de forma independente (assim como no SVI). A narrativa dinâmica é mais uma aspiração do que algo imposto operacionalmente.

SABR vs. SVI

	SABR	SVI
O que modela	A dinâmica que produz o smile	A forma do smile
Parâmetros	3 (com $\beta$ fixo)	5
Arbitragem	A fórmula de Hagan pode violar nas asas	Restrições limpas disponíveis
Comportamento nas asas	Pode falhar em strikes extremos	Limitado, assíntotas lineares
Velocidade	Avaliação de fórmula	Otimização
Melhor para	Taxas de juros, FX	Ações, cripto

A diferença principal: o SABR responde "como o smile se move?" enquanto o SVI responde "qual é a cara do smile?" Para precificação e risco de opções europeias simples, o ajuste mais simples e o melhor comportamento nas asas do SVI geralmente vencem. Para produtos em que a dinâmica do smile importa (swaptions bermudas, opções de barreira sob sticky-delta), a interpretação dinâmica do SABR é valiosa.

Conexão com o SVI

O SABR pode inicializar ajustes do SVI. Ajuste primeiro o SABR (otimização rápida de 2 parâmetros), avalie o smile do SABR em muitos strikes e depois ajuste o SVI a esses pontos. Isso dá ao SVI um bom ponto de partida quando os dados de mercado são escassos.

Construindo intuição matemática

Aprenda SABR do zeroLição interativa · 4 parâmetros, 5 seções

A lição interativa acima percorre os quatro parâmetros do SABR, um de cada vez: como alpha define o nível de vol, como rho inclina o skew, como nu levanta as asas e como beta controla a dinâmica do backbone. Cada seção tem um slider dedicado para que você isole o efeito de um parâmetro.

Implementações open source

Repositório	Por que vale a pena examinar
QuantLib	Aproximação de Hagan do SABR + calibração
pysabr	Implementação do SABR em Python puro, legível
OpenGamma Strata	SABR com interpolação de smile em risco de produção

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Veja também:

• Parametrização SVI - O smile por vencimento que a Hypercall ajusta para suas superfícies de opções sobre ações
• Volatilidade Local - A superfície de vol instantânea de Dupire
• Métodos de Interpolação - Todos os métodos comparados
• Como as Superfícies São Construídas - O pipeline completo