Modelos Simples e Fundamentais

Os blocos de construção. Black-Scholes: vol constante, sem smile. O CEV adiciona um parâmetro para gerar skew. O Displaced Diffusion desloca o eixo de preço para lidar com taxas negativas. São simples demais para ajustar o smile em produção, mas todo modelo complexo estende um deles.

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Todo modelo complexo estende um modelo simples

O SABR precisa do CEV (sua espinha dorsal). O Heston precisa do Black-Scholes (seu caso particular). Comece por aqui.

Visão Geral

Modelo

Parâmetros

Gera smile?

Ideia central

Black-Scholes

1

Não

Vol constante. A referência que todos os outros melhoram.

CEV

2

Apenas skew

A vol escala com o preço. A espinha dorsal dentro do SABR.

Displaced Diffusion

2

Apenas skew

Black-Scholes deslocado. Lida com taxas negativas.

Bachelier

1

Não (plano por definição)

Dinâmica normal. Os preços podem ficar negativos.

O que eles têm em comum

Os quatro modelos descrevem um único processo de difusão para o preço do ativo subjacente. Nenhum deles tem vol estocástica, saltos ou qualquer segunda fonte de aleatoriedade. A diferença está na dinâmica que cada um assume para o preço.

Modelo

Dinâmica do preço

Gera skew?

Principal limitação

Black-Scholes

Movimento browniano geométrico (lognormal)

Não

Smile plano: sem skew, sem curvatura

CEV

Vol em lei de potência: sigma * S^(beta-1)

Sim

Apenas skew, sem controle independente de curvatura

Displaced Diffusion

Lognormal deslocado: d(S + d)

Sim

Apenas skew, equivalente ao CEV para deslocamentos pequenos

Bachelier

Movimento browniano aritmético (normal)

Não

Smile plano, os preços podem ficar negativos

Como eles se relacionam

O Black-Scholes é a referência: vol constante, preço lognormal, sem smile. O CEV o generaliza fazendo a vol escalar com o nível de preço (sigma vezes S elevado a beta menos um), o que gera skew. Essa é a espinha dorsal do SABR. Quando o SABR define seu componente de vol local, ele usa o CEV. O Displaced Diffusion segue outro caminho: desloca o eixo de preço (modela S + d em vez de S), o que também gera skew e permite lidar com taxas ou preços negativos. Para deslocamentos pequenos, ele se comporta de forma parecida com o CEV. O Bachelier é a versão aditiva do Black-Scholes: os preços seguem uma distribuição normal em vez de lognormal. Ele gera um smile plano (em termos de vol normal) e admite naturalmente preços negativos, e por isso virou o padrão para opções de taxa de juros quando as taxas ficaram negativas.

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Modelos nesta seção:

• Black-Scholes - A base
• Modelo CEV - A vol escala com o preço
• Displaced Diffusion - Lognormal deslocado
• Bachelier - Dinâmica normal, vol aditiva